4点A(0, 0, 2), B(2, -2, 3), C(a, -1, 4), D(1, a, 1)が同一平面上にあるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

4点A(0, 0, 2), B(2, -2, 3), C(a, -1, 4), D(1, a, 1)が同一平面上にあるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一平面上にある条件は、ベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$が線形従属であることです。つまり、ある実数 $s$ と $t$ が存在して、

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

と表せることです。

まず、それぞれのベクトルを計算します。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \end{pmatrix}$

上記の式 $\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ に代入すると、

$\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

このベクトル方程式は、以下の連立方程式と同値です。

\begin{align*} 1 &= 2s + at \\ a &= -2s - t \\ -1 &= s + 2t \end{align*}

3番目の式より、$s = -1 - 2t$。これを1番目と2番目の式に代入します。

\begin{align*} 1 &= 2(-1 - 2t) + at \\ a &= -2(-1 - 2t) - t \end{align*}

整理すると

\begin{align*} 1 &= -2 - 4t + at \\ a &= 2 + 4t - t \end{align*}

さらに

\begin{align*} 3 &= (a - 4)t \\ a &= 2 + 3t \end{align*}

1つ目の式から、$t = \frac{3}{a - 4}$ ($a \neq 4$)。これを2つ目の式に代入すると、

$a = 2 + 3\left(\frac{3}{a - 4}\right)$

$a = 2 + \frac{9}{a - 4}$

両辺に $(a - 4)$ をかけて、

$a(a - 4) = 2(a - 4) + 9$

$a^2 - 4a = 2a - 8 + 9$

$a^2 - 6a - 1 = 0$

これを解くと

$a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

$a = 4$ の場合を考えると、

$3 = (4 - 4)t = 0$, これは矛盾。よって、$a \neq 4$.

3. 最終的な答え

$a = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$