すべての正の実数 $x, y$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq k \sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x, y$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq k \sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を平方します。不等式の両辺は正なので、平方しても大小関係は変わりません。

$$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \leq (k \sqrt{2x+y})^2$$

$$x + 2\sqrt{xy} + y \leq k^2 (2x+y)$$

次に、$x$ で両辺を割ります。$x$ は正の実数なので、不等号の向きは変わりません。$t = \frac{y}{x}$ とおくと、$t > 0$ です。

$$1 + 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \leq k^2 (2 + \frac{y}{x})$$

$$1 + 2\sqrt{t} + t \leq k^2 (2 + t)$$

$k^2$ について解くと、

$$k^2 \geq \frac{1 + 2\sqrt{t} + t}{2 + t} = \frac{(\sqrt{t} + 1)^2}{t + 2}$$

ここで、$f(t) = \frac{(\sqrt{t} + 1)^2}{t + 2}$ とおきます。$k^2$ は $f(t)$ の最大値以上であれば良いので、$f(t)$ の最大値を求めます。

$f'(t)$ を計算します。

$$f'(t) = \frac{2(\sqrt{t}+1)(\frac{1}{2\sqrt{t}})(t+2) - (\sqrt{t}+1)^2(1)}{(t+2)^2}$$

$$= \frac{(\sqrt{t}+1)[\frac{t+2}{\sqrt{t}} - (\sqrt{t}+1)]}{(t+2)^2}$$

$$= \frac{(\sqrt{t}+1)[\frac{t+2 - t - \sqrt{t}}{\sqrt{t}}]}{(t+2)^2} = \frac{(\sqrt{t}+1)(2 - \sqrt{t})}{\sqrt{t}(t+2)^2}$$

$f'(t) = 0$ となるのは、$t=4$ のときです。$0 < t < 4$ のとき、$f'(t) > 0$ であり、$t > 4$ のとき、$f'(t) < 0$ なので、$t=4$ で $f(t)$ は最大値をとります。

$f(4) = \frac{(\sqrt{4} + 1)^2}{4 + 2} = \frac{(2+1)^2}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

したがって、$k^2 \geq \frac{3}{2}$ となります。$k$ は実数なので、$k \geq \sqrt{\frac{3}{2}}$ または $k \leq -\sqrt{\frac{3}{2}}$。

しかし、$k$ は正である必要があるため、$k \geq \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。

3. 最終的な答え

$k \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$