数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項 $a_n$ を求める問題です。 初期値は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 5^{n-1}$ で与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項 $a_n$ を求める問題です。

初期値は $a_1 = 3$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 5^{n-1}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしています。つまり、$a_{n+1} - a_n = 5^{n-1}$ となっています。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1}$

$a_1 = 3$ を代入すると、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1}$ は初項 $1$, 公比 $5$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-2} 5^k = \frac{1 - 5^{n-1}}{1 - 5} = \frac{1 - 5^{n-1}}{-4} = \frac{5^{n-1} - 1}{4}$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 3 + \frac{5^{n-1} - 1}{4} = \frac{12 + 5^{n-1} - 1}{4} = \frac{5^{n-1} + 11}{4}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{5^{1-1} + 11}{4} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

これは与えられた $a_1 = 3$ と一致するので、$n=1$ のときもこの式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5^{n-1} + 11}{4}$