$a = 2 - \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $a^2 - 4a + 1$ (2) $a^3 - 6a^2 + 5a + 1$

1. 問題の内容

$a = 2 - \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $a^2 - 4a + 1$

(2) $a^3 - 6a^2 + 5a + 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a = 2 - \sqrt{3}$ を与えられた式に代入します。

$a^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

$a^2 - 4a + 1 = (7 - 4\sqrt{3}) - 4(2 - \sqrt{3}) + 1$

$= 7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1$

$= 7 - 8 + 1 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 0$

(2)

$a = 2 - \sqrt{3}$ より、$a - 2 = -\sqrt{3}$

両辺を2乗すると、

$(a - 2)^2 = (-\sqrt{3})^2$

$a^2 - 4a + 4 = 3$

$a^2 - 4a + 1 = 0$

ここで、$a^3 - 6a^2 + 5a + 1$ を $a^2 - 4a + 1$ で割ります。

$a^3 - 6a^2 + 5a + 1 = (a^2 - 4a + 1)(a - 2) - a + 3$

$a^2 - 4a + 1 = 0$ より、

$a^3 - 6a^2 + 5a + 1 = (0)(a - 2) - a + 3 = -a + 3$

$-a + 3 = -(2 - \sqrt{3}) + 3 = -2 + \sqrt{3} + 3 = 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $0$

(2) $1 + \sqrt{3}$