(1) $x$の2次関数 $y = -x^2 + 2mx + m^2 - 4m + 3$ の最大値を $m$ で表す。 (2) $m$ が変化するとき、(1)で求めた最大値の最小値とそのときの $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$の2次関数 $y = -x^2 + 2mx + m^2 - 4m + 3$ の最大値を $m$ で表す。

(2) $m$ が変化するとき、(1)で求めた最大値の最小値とそのときの $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2mx + m^2 - 4m + 3$

$y = -(x^2 - 2mx) + m^2 - 4m + 3$

$y = -(x^2 - 2mx + m^2 - m^2) + m^2 - 4m + 3$

$y = -(x - m)^2 + m^2 + m^2 - 4m + 3$

$y = -(x - m)^2 + 2m^2 - 4m + 3$

この2次関数は上に凸であるため、頂点が最大値となります。

頂点の座標は $(m, 2m^2 - 4m + 3)$ なので、最大値は $2m^2 - 4m + 3$ です。

(2) (1)で求めた最大値を $M$ とおくと、

$M = 2m^2 - 4m + 3$

これを $m$ の2次関数と見て、最小値を求めます。

平方完成すると、

$M = 2(m^2 - 2m) + 3$

$M = 2(m^2 - 2m + 1 - 1) + 3$

$M = 2(m - 1)^2 - 2 + 3$

$M = 2(m - 1)^2 + 1$

この式より、$m = 1$ のとき、$M$ は最小値 $1$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2m^2 - 4m + 3$

(2) 最小値: $1$, そのときの $m$ の値: $1$