2次不等式 $-x^2 + mx + 2m \le 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + mx + 2m \le 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $-x^2 + mx + 2m \le 0$ の両辺に $-1$ をかけると、

$x^2 - mx - 2m \ge 0$ となる。

2次不等式 $x^2 - mx - 2m \ge 0$ の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 - mx - 2m$ のグラフが常に $x$ 軸の上側（または $x$ 軸上）にある必要がある。

つまり、$x^2 - mx - 2m = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ でなければならない。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(-2m) = m^2 + 8m$

である。

したがって、$D \le 0$ より、

$m^2 + 8m \le 0$

$m(m + 8) \le 0$

これを解くと、 $-8 \le m \le 0$ となる。

3. 最終的な答え

$-8 \le m \le 0$