与えられた等式 $${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1} = 2^{2n-1}$$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた等式

$${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1} = 2^{2n-1}$$

が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理とは、任意の整数 $n$ に対して、

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$$

である。

まず、$x=1$、$y=1$とすると、

$$(1+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} 1^{2n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} = {}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_2 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 2^{2n}$$

次に、$x=1$、$y=-1$とすると、

$$(1-1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} 1^{2n-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} (-1)^k = {}_{2n}C_0 - {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_2 - {}_{2n}C_3 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 0$$

上記の2式を足し合わせると、

$$2({}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n}) = 2^{2n}$$

$${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = 2^{2n-1}$$

上記の2式を引き算すると、

$$2({}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1}) = 2^{2n}$$

$${}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1} = 2^{2n-1}$$

したがって、

$${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1} = 2^{2n-1}$$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$${}_{2n}C_0 + {}_{2n}C_2 + {}_{2n}C_4 + \dots + {}_{2n}C_{2n} = {}_{2n}C_1 + {}_{2n}C_3 + {}_{2n}C_5 + \dots + {}_{2n}C_{2n-1} = 2^{2n-1}$$