2次方程式 $x^2 - 4x - 2m = 0$ ($m$ は整数) が整数解 $a$ を持つとき、$m$ が偶数であることを示す。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2m = 0$ ($m$ は整数) が整数解 $a$ を持つとき、$m$ が偶数であることを示す。

2. 解き方の手順

$x^2 - 4x - 2m = 0$ が整数解 $a$ を持つので、$x$ に $a$ を代入すると、

$a^2 - 4a - 2m = 0$

となる。

この式を $m$ について解くと、

$2m = a^2 - 4a$

$m = \frac{a^2 - 4a}{2}$

$m = \frac{a(a-4)}{2}$

$m$ は整数であるから、$a(a-4)$ は偶数でなければならない。

$a$ が偶数のとき、$a = 2k$ ($k$ は整数) と表せる。

$a(a-4) = 2k(2k-4) = 4k(k-2)$ となり、これは偶数である。

$a$ が奇数のとき、$a = 2k+1$ ($k$ は整数) と表せる。

$a(a-4) = (2k+1)(2k+1-4) = (2k+1)(2k-3) = 4k^2 -6k + 2k - 3 = 4k^2 - 4k - 3 = 4k(k-1) - 3$ となり、これは奇数となる。

したがって、$a$ は偶数でなければならない。

$a = 2k$ のとき、$m = \frac{2k(2k-4)}{2} = \frac{4k(k-2)}{2} = 2k(k-2)$ となる。

$k$ も $k-2$ も整数であるから、$k(k-2)$ は整数である。

したがって、$m = 2k(k-2)$ は偶数である。

3. 最終的な答え

$m$ は偶数である。