変数 $x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ の関係があるとき、以下の問題を解きます。 (1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求めます。

はい、承知しました。2つの問題について、順番に解答します。

**問題 25**

1. 問題の内容

変数 $x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ の関係があるとき、以下の問題を解きます。

(1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求めます。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $3x + y = 6$ より、$y = 6 - 3x$ となります。これを $3x^2 + y^2$ に代入すると、

$3x^2 + (6 - 3x)^2 = 3x^2 + 36 - 36x + 9x^2 = 12x^2 - 36x + 36$

となります。この式を平方完成すると、

$12(x^2 - 3x) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 12(\frac{9}{4}) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 27 + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$

となります。したがって、$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $9$ をとります。

(2) $x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ という条件より、$3x + y = 6$ から $3x \leq 6$ なので、$0 \leq x \leq 2$となります。

$f(x) = 12x^2 - 36x + 36$ とおくと、$f(x)$ は下に凸の二次関数であり、$x = \frac{3}{2}$ で最小値をとります。

$x$ の定義域は $0 \leq x \leq 2$ なので、$f(x)$ は $x = 0$ または $x = 2$ で最大値をとります。

$f(0) = 36$, $f(2) = 12(4) - 36(2) + 36 = 48 - 72 + 36 = 12$

したがって、$x = 0$ のとき最大値 $36$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 9

(2) 最大値: 36