$3 + \sqrt{5}i$ と $3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が 1 である2次方程式を求めます。

1. 問題の内容

$3 + \sqrt{5}i$ と $3 - \sqrt{5}i$ を解にもち、$x^2$ の係数が 1 である2次方程式を求めます。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha = 3 + \sqrt{5}i$ と $\beta = 3 - \sqrt{5}i$ とします。

解と係数の関係から、

\begin{itemize}

\item 2つの解の和: $\alpha + \beta = (3 + \sqrt{5}i) + (3 - \sqrt{5}i) = 6$

\item 2つの解の積: $\alpha \beta = (3 + \sqrt{5}i)(3 - \sqrt{5}i) = 3^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 9 - (5i^2) = 9 - 5(-1) = 9 + 5 = 14$

\end{itemize}

$x^2$ の係数が 1 である2次方程式は、

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$

と表すことができます。

$\alpha + \beta = 6$ と $\alpha \beta = 14$ を代入すると、

$x^2 - 6x + 14 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 6x + 14 = 0$