$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ から $2y^2 = 1 - x^2$ を得る。

これを $3y^2$ に代入すると、 $3y^2 = \frac{3}{2}(1 - x^2)$ となる。

$2x + 3y^2$ に代入して、$2x + 3y^2 = 2x + \frac{3}{2}(1 - x^2) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$ となる。

$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$ とおく。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{9 + 4}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{13}{6}$

また、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \le 1$ なので、 $-1 \le x \le 1$ である。

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$f(x) = \frac{13}{6}$ であり、これが最大値である。

このとき、$2y^2 = 1 - x^2 = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$y^2 = \frac{5}{18}$ より、$y = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$

$x = -1$ のとき、$f(x) = -\frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - 2 + \frac{3}{2} = -2$

$x = 1$ のとき、$f(x) = -\frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 2$

したがって、$x = -1$ のとき、最小値は $-2$ である。このとき、$2y^2 = 1 - (-1)^2 = 0$ より、$y = 0$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{6}$ ($x = \frac{2}{3}, y = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = -1, y = 0$ のとき)