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次の式を簡単にせよという問題です。 $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

代数学式の計算有理化根号
2025/8/13

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよという問題です。
11+2+3+11+2−3−11−2+3−11−2−3\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}

2. 解き方の手順

まず、第一項と第二項を足し合わせます。通分して計算します。
11+2+3+11+2−3=(1+2−3)+(1+2+3)(1+2+3)(1+2−3)=2(1+2)(1+2)2−(3)2=2(1+2)(1+2+22)−3=2(1+2)22=1+22=2+22\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{2(1+\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(1+\sqrt{2})}{(1+2+2\sqrt{2}) - 3} = \frac{2(1+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2}{2}
次に、第三項と第四項を足し合わせます。通分して計算します。
11−2+3+11−2−3=(1−2−3)+(1−2+3)(1−2+3)(1−2−3)=2(1−2)(1−2)2−(3)2=2(1−2)(1+2−22)−3=2(1−2)−22=1−2−2=2−12=2−22\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (1-\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{2(1-\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(1-\sqrt{2})}{(1+2-2\sqrt{2}) - 3} = \frac{2(1-\sqrt{2})}{-2\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}
よって、与えられた式は
11+2+3+11+2−3−11−2+3−11−2−3=2+22−2−22=2+2−2+22=222=2\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+2}{2} - \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+2-2+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

3. 最終的な答え

2\sqrt{2}

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