多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると、余りが $2x+5$ になります。このとき、$P(x)$ を $x+5$ で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x^2 + 3x - 10$ で割ると、余りが $2x+5$ になります。このとき、$P(x)$ を $x+5$ で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 3x - 10$ を因数分解します。

$$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$$

したがって、$P(x)$ はある多項式 $Q(x)$ を用いて、次のように書けます。

$$P(x) = (x+5)(x-2)Q(x) + 2x+5$$

$P(x)$ を $x+5$ で割った余りは、剰余の定理より $P(-5)$ で求められます。

$x = -5$ を $P(x)$ の式に代入すると、

$$P(-5) = (-5+5)(-5-2)Q(-5) + 2(-5) + 5$$

$$P(-5) = 0 \cdot (-7) \cdot Q(-5) - 10 + 5$$

$$P(-5) = 0 - 5$$

$$P(-5) = -5$$

したがって、$P(x)$ を $x+5$ で割った余りは $-5$ です。

3. 最終的な答え

-5