$x$ を自然数とする。連立不等式 $ \begin{cases} 3x^2 - 25x + 8 \le 0 \\ x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \le 0 \end{cases} $ を満たす自然数 $x$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ を自然数とする。連立不等式

$\begin{cases} 3x^2 - 25x + 8 \le 0 \\ x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \le 0 \end{cases}$

を満たす自然数 $x$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式を解きます。

$3x^2 - 25x + 8 \le 0$

$(3x - 1)(x - 8) \le 0$

$\frac{1}{3} \le x \le 8$

次に、2つ目の不等式を解きます。

$x^2 - 4(\sqrt{5}+1)x + 16\sqrt{5} \le 0$

$x^2 - 4\sqrt{5}x - 4x + 16\sqrt{5} \le 0$

$x(x - 4\sqrt{5}) - 4(x - 4\sqrt{5}) \le 0$

$(x - 4\sqrt{5})(x - 4) \le 0$

$4 \le x \le 4\sqrt{5}$

ここで、$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$4\sqrt{5} \approx 4 \times 2.236 = 8.944$ となります。

したがって、$4 \le x \le 4\sqrt{5} \approx 8.944$

連立不等式を解くということは、両方の不等式を満たす $x$ の範囲を求めることです。

$\frac{1}{3} \le x \le 8$ と $4 \le x \le 4\sqrt{5}$ の共通範囲を求めると、

$4 \le x \le 8$

となります。

この範囲に含まれる自然数 $x$ は、4, 5, 6, 7, 8 の5個です。

3. 最終的な答え

5