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与えられた式 $\frac{3^{n+1} - 2^n}{3^n + 2^n}$ を計算する問題です。この式を可能な限り簡単にする必要があります。

代数学指数式の計算分数式
2025/8/9

1. 問題の内容

与えられた式 3n+1−2n3n+2n\frac{3^{n+1} - 2^n}{3^n + 2^n} を計算する問題です。この式を可能な限り簡単にする必要があります。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を 3n3^n で割ります。
3n+1−2n3n+2n=3n+13n−2n3n3n3n+2n3n\frac{3^{n+1} - 2^n}{3^n + 2^n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{3^n} - \frac{2^n}{3^n}}{\frac{3^n}{3^n} + \frac{2^n}{3^n}}
指数法則 an+1=an⋅aa^{n+1} = a^n \cdot a を用いて、3n+1=3n⋅33^{n+1} = 3^n \cdot 3 と変形します。
3n⋅33n−2n3n3n3n+2n3n=3−(23)n1+(23)n\frac{\frac{3^n \cdot 3}{3^n} - \frac{2^n}{3^n}}{\frac{3^n}{3^n} + \frac{2^n}{3^n}} = \frac{3 - (\frac{2}{3})^n}{1 + (\frac{2}{3})^n}
これで、与えられた式を簡単な形に変形することができました。

3. 最終的な答え

3n+1−2n3n+2n=3−(23)n1+(23)n\frac{3^{n+1} - 2^n}{3^n + 2^n} = \frac{3 - (\frac{2}{3})^n}{1 + (\frac{2}{3})^n}

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