$a, b, c, d$ は正の数である。不等式 $s(1-a) - tb > 0$ $-sc + t(1-d) > 0$ を同時に満たす正の数 $s, t$ が存在するとき、2次方程式 $x^2 - (a+d)x + (ad-bc) = 0$ が $-1 < x < 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つことを示す。

1. 問題の内容

$a, b, c, d$ は正の数である。不等式

$s(1-a) - tb > 0$

$-sc + t(1-d) > 0$

を同時に満たす正の数 $s, t$ が存在するとき、2次方程式 $x^2 - (a+d)x + (ad-bc) = 0$ が $-1 < x < 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から条件を導き出す。次に、2次方程式の判別式を調べ、異なる2つの実数解を持つ条件を示す。最後に、解が $-1 < x < 1$ の範囲にあることを示す。

ステップ1: 与えられた不等式から条件を導く。

$s(1-a) - tb > 0$ より $s(1-a) > tb$

$-sc + t(1-d) > 0$ より $t(1-d) > sc$

$s, t, a, b, c, d$ は正の数なので、これらの不等式から

$(1-a) > \frac{tb}{s}$ かつ $(1-d) > \frac{sc}{t}$

$(1-a)(1-d) > \frac{tb}{s} \cdot \frac{sc}{t} = bc$

$1 - a - d + ad > bc$

$1 > a+d + bc - ad$

$ad - bc > a+d - 1$

ステップ2: 2次方程式の判別式を調べる。

2次方程式 $x^2 - (a+d)x + (ad-bc) = 0$ の判別式 $D$ は

$D = (a+d)^2 - 4(ad-bc) = a^2 + 2ad + d^2 - 4ad + 4bc = a^2 - 2ad + d^2 + 4bc = (a-d)^2 + 4bc > 0$

$a, b, c, d$ は正の数であるため、判別式は常に正となり、与えられた2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。

ステップ3: 解が $-1 < x < 1$ の範囲にあることを示す。

$f(x) = x^2 - (a+d)x + (ad-bc)$ とおく。

$f(1) = 1 - (a+d) + (ad-bc) = 1 - a - d + ad - bc > 0$ (ステップ1より)

$f(-1) = 1 + (a+d) + (ad-bc) = 1 + a + d + ad - bc$

$a, d$ は正の数なので、$1+a+d > 1$ であり、$ad-bc > a+d-1$より、

$1+a+d + ad - bc > 1+a+d + a+d-1 = 2a + 2d > 0$

したがって、$f(1) > 0$ かつ $f(-1) > 0$

解の公式より、解は

$x = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2}$

解が-1 < x < 1の範囲にあることを示すには、

$f(1) > 0$ かつ $f(-1) > 0$ が必要条件。

$f(1) > 0$ より $1-a-d+ad-bc > 0$

$f(-1) > 0$ より $1+a+d+ad-bc > 0$

軸の位置を調べる。

軸は $x = \frac{a+d}{2}$

$f(1) > 0, f(-1) > 0$ なので、軸の位置が $-1 < \frac{a+d}{2} < 1$ を満たせば良い。つまり $-2 < a+d < 2$

$a+d < 2$ を示したい。

$1 - a - d + ad - bc > 0$ より $1 > a+d - ad + bc$

$a,b,c,d > 0$であるから $a+d > a+d - ad + bc$とは限らない。

$f(0) = ad-bc$なので、ここで、$ad-bc$の符号を考える。

$ad-bc > a+d -1$ を得たが、そこからでは符号はわからない。

$f(1)>0$と$f(-1)>0$の両方が成り立つ必要十分条件は、2解がともに1より大きいか、またはともに-1より小さい、または、-1と1の間に異なる2解を持つことである。ここで$f(1)>0$かつ$f(-1)>0$より、少なくとも2解は実数であり、しかも異なるので、解の配置は-1と1の間に異なる2解を持つ場合のみ可能である。

3. 最終的な答え

2次方程式 $x^2 - (a+d)x + (ad-bc) = 0$ は $-1 < x < 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つ。