2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が虚数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求め、そのときの2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が虚数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求め、そのときの2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が虚数解を持つ条件

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が虚数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-a + 6) = 4a^2 + 4a - 24$

虚数解を持つ条件は、$D < 0$ より、

$4a^2 + 4a - 24 < 0$

$a^2 + a - 6 < 0$

$(a + 3)(a - 2) < 0$

よって、$-3 < a < 2$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta$ の最小値を求める

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2a$

$\alpha\beta = -a + 6$

$\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta - 6\alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 8\alpha\beta$

$= (2a)^2 - 8(-a + 6) = 4a^2 + 8a - 48$

$f(a) = 4a^2 + 8a - 48$ とすると、

$f(a) = 4(a^2 + 2a) - 48 = 4(a^2 + 2a + 1 - 1) - 48 = 4(a + 1)^2 - 4 - 48 = 4(a + 1)^2 - 52$

$f(a)$ は、$a = -1$ のとき最小値 $-52$ をとる。

$-3 < a < 2$ の範囲に $a = -1$ が含まれているので、$\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta$ の最小値は $-52$ である。

3. 最終的な答え

$a$ の値の範囲: $-3 < a < 2$

$\alpha^2 + \beta^2 - 6\alpha\beta$ の最小値: $-52$