$p+q-3pq=0$, $p+q=a$, $pq=b$ であり、$p, q$ がすべての正の実数を動くとき、$(a, b)$ の領域を図示する問題です。

1. 問題の内容

$p+q-3pq=0$, $p+q=a$, $pq=b$ であり、$p, q$ がすべての正の実数を動くとき、$(a, b)$ の領域を図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$p+q=a$ と $pq=b$ を $p+q-3pq=0$ に代入します。

$a-3b=0$

これから、$a = 3b$ となります。

$p$ と $q$ は正の実数なので、$p$ と $q$ は、$t$ に関する以下の二次方程式の2つの正の解です。

$t^2 - at + b = 0$

この二次方程式が2つの正の解を持つ条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D \ge 0$

(2) 解の和 $> 0$

(3) 解の積 $> 0$

(1) $D = a^2 - 4b \ge 0$

$a^2 \ge 4b$

(2) $a > 0$

(3) $b > 0$

$a=3b$ を $a^2 \ge 4b$ に代入します。

$(3b)^2 \ge 4b$

$9b^2 \ge 4b$

$9b^2 - 4b \ge 0$

$b(9b-4) \ge 0$

$b > 0$ より、$9b-4 \ge 0$ となり、$b \ge \frac{4}{9}$ が得られます。

したがって、$a = 3b \ge 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{3}$ となります。

$a > 0$, $b > 0$, $b \ge \frac{4}{9}$, $a = 3b$ という条件を満たす領域を図示します。

3. 最終的な答え

領域は、直線 $a=3b$ 上の $a \ge \frac{4}{3}$, $b \ge \frac{4}{9}$ の範囲です。

つまり、$b \ge \frac{4}{9}$ において、$a=3b$ で表される直線です。