実数 $a$ がすべての値を取るとき、2つの直線 $ax + y = a$ と $x - ay = -1$ の交点が描く図形を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ がすべての値を取るとき、2つの直線 $ax + y = a$ と $x - ay = -1$ の交点が描く図形を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2つの式は次の通りです。

$ax + y = a$ ...(1)

$x - ay = -1$ ...(2)

まず、$a$ を含まない形にするために、これらの式を操作します。

(1)式を $a$ について整理すると

$a(x-1) + y = 0$ ...(3)

(2)式を $a$ について整理すると

$x + 1 - ay = 0$

$a y - (x+1) = 0$ ...(4)

(3)式と(4)式が任意の $a$ に対して成り立つためには、$a$ の係数と定数項が同時に0になる必要があります。

したがって、

$x - 1 = 0$ ...(5)

$y = 0$ ...(6)

かつ

$y = 0$ ...(7)

$x+1 = 0$ ...(8)

しかし、(5)式より $x = 1$ であり、(8)式より $x = -1$ となるため、$x$ の値が矛盾します。

これは (1)式と(2)式が平行になる場合があることを示唆しています。

（1）式と（2）式から $a$ を消去することを試みます。

(1)式に $a$ をかけると、

$a^2 x + ay = a^2$ ...(9)

(2)式より、$ay = x + 1$ なので、これを(9)式に代入すると、

$a^2 x + x + 1 = a^2$

$a^2 (x-1) = -(x+1)$

ここで、$x=1$ と仮定すると、$0=-2$ となり矛盾が生じるため、$x \ne 1$ である。

したがって、$a^2 = - \frac{x+1}{x-1}$ ...(10)

次に、$a$ を消去する別の方法を試します。

(1)式より、$y = a(1-x)$ ...(11)

(2)式に(11)式を代入すると、

$x - a^2(1-x) = -1$

$x + 1 = a^2 (1-x)$

$a^2 = \frac{x+1}{1-x}$ ...(12)

(10)式と(12)式から、

$\frac{x+1}{1-x} = - \frac{x+1}{x-1}$

$\frac{x+1}{1-x} = \frac{x+1}{1-x}$

これは常に成り立つため、$x$ と $y$ の関係式を見つける必要があります。

(1)式と(2)式を連立させて、$a$ を消去することを考えます。

(1)式 $\times$ $a$ + (2)式 より、

$a^2x + ay + x - ay = a^2 -1$

$a^2x + x = a^2 -1$

$a^2(x-1) = -x-1$

$a^2 = - \frac{x+1}{x-1}$

(2)式 $\times$ $a$ - (1)式 より、

$ax - a^2y - ax - y = -a - a$

$-a^2y - y = -2a$

$a^2 y + y = 2a$

両辺にyをかけると、

$x - ay = -1$

$ax + y = a$

(1)式から $y = a - ax$

これを(2)式に代入すると、$x - a(a - ax) = -1$

$x - a^2 + a^2 x = -1$

$x + 1 = a^2 (1 - x)$

$a^2 = \frac{x+1}{1-x}$

$a = \frac{y}{1-x}$

$x - \frac{y^2}{1-x} = -1$

$x(1-x) - y^2 = -1 + x$

$x - x^2 - y^2 = -1 + x$

$x^2 + y^2 = 1$

ただし、$x = 1$ は除く。$x=1$ の時、$y=0$ であり、$1 - a \cdot 0 = -1$ を満たさないので除外します。

3. 最終的な答え

円 $x^2 + y^2 = 1$ ただし、点 $(1, 0)$ を除く。