3次方程式 $x^3 - 3px + p = 0$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような、実数 $p$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3px + p = 0$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような、実数 $p$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^3 - 3px + p = 0$ を変形します。

$x^3 = 3px - p$

$x^3 = p(3x - 1)$

$p = \frac{x^3}{3x - 1}$

$f(x) = \frac{x^3}{3x - 1}$ とおきます。

$f'(x) = \frac{3x^2(3x - 1) - x^3 \cdot 3}{(3x - 1)^2} = \frac{9x^3 - 3x^2 - 3x^3}{(3x - 1)^2} = \frac{6x^3 - 3x^2}{(3x - 1)^2} = \frac{3x^2(2x - 1)}{(3x - 1)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x=0, \frac{1}{2}$ のときです。

$f(x)$ の増減表は以下のようになります。

| x | -1 | ... | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 |

| :--- | :--- | :---- | :--- | :----- | :---- | :---- | :--- |

| f'(x) | - | - | 0 | - | 0 | + | + |

| f(x) | -1/4 | | 0 | | -1/4 | | 1/2 |

$x = -1$ のとき $f(-1) = \frac{-1}{-3-1} = \frac{1}{4}$

$x = 0$ のとき $f(0) = 0$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$

$x = 1$ のとき $f(1) = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$

$y = f(x)$ のグラフを描くと、$y=p$ と $-1 \le x \le 1$ の範囲で異なる2つの共有点を持つためには、 $p = \frac{1}{4}$ または $\frac{1}{4} < p < \frac{1}{2}$

しかし、$x=0$のとき、$3x-1 = -1 \ne 0$なので、$x=0$は$p = \frac{x^3}{3x-1}$で定義されます。

$p = \frac{1}{4}$ のとき、$x = -1$ または $x=\frac{1}{2}$

$x^3 - 3px + p = 0$ に $p=\frac{1}{4}$を代入すると、$x^3 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} = 0$ となります。

$4x^3 - 3x + 1 = 0$

$(x+1)(4x^2 - 4x + 1) = 0$

$(x+1)(2x-1)^2 = 0$

$x = -1, \frac{1}{2}$

異なる2つの実数解を持つので、 $p = \frac{1}{4}$ は条件を満たします。

$\frac{1}{4} < p < \frac{1}{2}$ のとき、 $-1 \le x \le 1$ の範囲で異なる3つの実数解を持つことになります。

この範囲では、$p$の値は存在しません。

$3x - 1 = 0$ つまり $x = \frac{1}{3}$ の時、 $x^3 - 3px + p = 0$ から $\frac{1}{27} - p + p = 0$ となり、 $\frac{1}{27} = 0$ となり矛盾するので、$x = \frac{1}{3}$ は解になりえません。

3. 最終的な答え

$p = \frac{1}{4}$