$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 6ax + a^2 - 1 = (x - 3a)^2 - 9a^2 + a^2 - 1 = (x - 3a)^2 - 8a^2 - 1$

軸は $x = 3a$ である。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求める。

(i) $3a < 0$, つまり $a < 0$ のとき

$x = 0$ で最小値をとる。

$y(0) = 0^2 - 6a(0) + a^2 - 1 = a^2 - 1$

(ii) $0 \le 3a \le 2$, つまり $0 \le a \le \frac{2}{3}$ のとき

$x = 3a$ で最小値をとる。

$y(3a) = (3a)^2 - 6a(3a) + a^2 - 1 = 9a^2 - 18a^2 + a^2 - 1 = -8a^2 - 1$

(iii) $3a > 2$, つまり $a > \frac{2}{3}$ のとき

$x = 2$ で最小値をとる。

$y(2) = 2^2 - 6a(2) + a^2 - 1 = 4 - 12a + a^2 - 1 = a^2 - 12a + 3$

よって、

$a < 0$ のとき、最小値は $a^2 - 1$

$0 \le a \le \frac{2}{3}$ のとき、最小値は $-8a^2 - 1$

$a > \frac{2}{3}$ のとき、最小値は $a^2 - 12a + 3$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $a^2 - 1$

$0 \le a \le \frac{2}{3}$ のとき、最小値は $-8a^2 - 1$

$a > \frac{2}{3}$ のとき、最小値は $a^2 - 12a + 3$