$a$を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax - a = 2(x^2 - 2ax) - a$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

これにより、放物線の頂点の座標が $(a, -2a^2 - a)$ であることがわかる。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を求めるために、軸 $x = a$ の位置に応じて場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき

定義域の左端 $(x=0)$ から軸までの距離が、定義域の右端 $(x=2)$ から軸までの距離よりも遠いので、$x = 2$ で最大値をとる。

$x = 2$ を代入すると、

$y = 2(2)^2 - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸が定義域内にあるので、$x = 0$ または $x = 2$ で最大値をとる。

$x = 0$ のとき $y = -a$

$x = 2$ のとき $y = 8 - 9a$

$y$ の値が大きくなる方を比較する。

$-a > 8 - 9a \Leftrightarrow 8a > 8 \Leftrightarrow a > 1$

つまり、

$0 \le a \le 1$ のとき、$x=0$ のときに最大値 $-a$ をとる。

$1 < a \le 2$ のとき、$x=2$ のときに最大値 $8-9a$ をとる。

$a = 1$ のときは、$x=0, 2$ のときに最大値 $-1$ をとる。

(iii) $a > 2$ のとき

定義域の右端 $(x=2)$ から軸までの距離が、定義域の左端 $(x=0)$ から軸までの距離よりも遠いので、$x = 0$ で最大値をとる。

$x = 0$ を代入すると、$y = -a$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $-a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a$

これらを合わせて記述する。

$a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $-a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $-a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a$