$n^2 - 20n + 91$ が素数となるような整数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n^2 - 20n + 91$ が素数となるような整数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n^2 - 20n + 91$ を因数分解することを考えます。

$n^2 - 20n + 91 = (n - a)(n - b)$ となる $a, b$ を探します。

$a + b = 20$ かつ $ab = 91$ を満たす $a, b$ を探すと、$a = 7, b = 13$ が見つかります。

したがって、$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$ と因数分解できます。

$n^2 - 20n + 91$ が素数となるためには、$(n-7)(n-13)$ のどちらかの因数が $1$ または $-1$ でなければなりません。

(i) $n - 7 = 1$ のとき、$n = 8$。このとき、$(n-7)(n-13) = (1)(-5) = -5$ となります。しかし、素数は正である必要があるため、これは不適です。

(ii) $n - 7 = -1$ のとき、$n = 6$。このとき、$(n-7)(n-13) = (-1)(-7) = 7$ となり、これは素数です。

(iii) $n - 13 = 1$ のとき、$n = 14$。このとき、$(n-7)(n-13) = (7)(1) = 7$ となり、これは素数です。

(iv) $n - 13 = -1$ のとき、$n = 12$。このとき、$(n-7)(n-13) = (5)(-1) = -5$ となります。しかし、素数は正である必要があるため、これは不適です。

したがって、条件を満たす $n$ は $6$ と $14$ です。

3. 最終的な答え

$n = 6, 14$