$k$を定数とする。放物線$F: y = x^2 - 4kx + 4k^2 - 4$ がある。軸が直線$x = 2$である放物線$F$を$G_0$とする。 (1) $F$の軸が直線$x = 2$であるとき、$k$の値を求めよ。 (2) (i) $G_0$を$y$軸に関して対称移動した放物線を$G_1$とする。$G_1$の方程式を求めよ。 (ii) $G_0$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$G_2$とする。$G_2$の方程式を求めよ。 (3) 放物線$G_0$の頂点を$A$, (2)で求めた放物線$G_1, G_2$の頂点をそれぞれ$B, C$とし、線分$AB$と線分$AC$で作られる折れ線を$L$とする。放物線$F$と折れ線$L$（端点を含む）の共有点の個数を$k$の値で分類して求めよ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。放物線$F: y = x^2 - 4kx + 4k^2 - 4$ がある。軸が直線$x = 2$である放物線$F$を$G_0$とする。

(1) $F$の軸が直線$x = 2$であるとき、$k$の値を求めよ。

(2) (i) $G_0$を$y$軸に関して対称移動した放物線を$G_1$とする。$G_1$の方程式を求めよ。

(ii) $G_0$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$G_2$とする。$G_2$の方程式を求めよ。

(3) 放物線$G_0$の頂点を$A$, (2)で求めた放物線$G_1, G_2$の頂点をそれぞれ$B, C$とし、線分$AB$と線分$AC$で作られる折れ線を$L$とする。放物線$F$と折れ線$L$（端点を含む）の共有点の個数を$k$の値で分類して求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線$F: y = x^2 - 4kx + 4k^2 - 4$の軸は、平方完成することで求められる。

$y = (x - 2k)^2 - 4$ より、軸は$x = 2k$となる。これが$x = 2$と等しいので、

$2k = 2$

$k = 1$

(2) (i) $k = 1$より、$G_0: y = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$G_0$を$y$軸に関して対称移動すると、$x$を$-x$に置き換えることで得られる。

$G_1: y = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$

(ii) $G_0$を$x$軸に関して対称移動すると、$y$を$-y$に置き換えることで得られる。

$-y = x^2 - 4x$

$y = -x^2 + 4x$

これが$G_2$の方程式となる。

(3) $G_0$の頂点Aは$(2, -4)$

$G_1: y = x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$ より、頂点Bは$(-2, -4)$

$G_2: y = -x^2 + 4x = -(x - 2)^2 + 4$ より、頂点Cは$(2, 4)$

$k = 1$のとき、$F: y = x^2 - 4x$

折れ線Lは線分ABと線分ACからなる。

線分ABの方程式は、$y = -4$, $-2 \le x \le 2$

線分ACの方程式は、$A(2, -4)$と$C(2, 4)$を通る直線なので、$x=2$, $-4 \le y \le 4$

放物線$F$と線分ABの共有点を求める。

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

これは$-2 \le x \le 2$を満たす。よって共有点は$(2, -4)$

放物線$F$と線分ACの共有点を求める。

$x = 2$を$y = x^2 - 4x$に代入すると、

$y = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

よって共有点は$(2, -4)$

したがって、$F$と$L$の共有点の個数は1個。

3. 最終的な答え

(1) $k = 1$

(2) (i) $G_1: y = x^2 + 4x$

(ii) $G_2: y = -x^2 + 4x$

(3) $k = 1$のとき、共有点の個数は1個