方程式 $\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{4x^2-1}{(2x+1)^2} = 1$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{4x^2-1}{(2x+1)^2} = 1$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を書き出します。

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{4x^2-1}{(2x+1)^2} = 1$

次に、 $4x^2-1$ を因数分解します。これは $(2x)^2 - 1^2$ の形なので、差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$4x^2-1 = (2x+1)(2x-1)$

これを元の方程式に代入します。

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)^2} = 1$

$(2x+1)^2 = (2x+1)(2x+1)$ であることを考慮すると、方程式は以下のようになります。

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)(2x+1)} = 1$

ここで、$2x+1 \neq 0$ かつ $2x-1 \neq 0$、つまり $x \neq -\frac{1}{2}$ かつ $x \neq \frac{1}{2}$ のとき、約分ができます。

$\frac{(2x+1)(2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)(2x+1)} = 1$

約分すると、

$1 = 1$

これは $x$ がどのような値でも成立することを示しているわけではありません。なぜなら、$x \neq -\frac{1}{2}$ かつ $x \neq \frac{1}{2}$ という条件のもとで約分を行ったからです。

与えられた方程式に戻って考えます。

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)^2} = 1$

$\frac{(2x+1)^2(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)^2} = 1$

$2x+1 \neq 0$かつ$2x-1 \neq 0$という条件でなければ、約分することはできません。

この条件を満たさない場合、元の式の値は定義されません。

しかし、もし$2x+1 \neq 0$かつ$2x-1 \neq 0$ならば、約分して1=1となり、これは常に成り立ちます。したがって、これは恒等式ではなく、$x$ は特定の値を取れません。

しかし、問題文から $x$ の値を求める必要があるため、式変形を行う必要があります。

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{4x^2-1}{(2x+1)^2} = 1$

$\frac{2x+1}{2x-1} \times \frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)^2} = 1$

$\frac{(2x+1)^2(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)^2} = 1$

両辺に $(2x-1)(2x+1)^2$ を掛けると、

$(2x+1)^2(2x-1) = (2x-1)(2x+1)^2$

これは常に成り立つため、$x$はすべての実数と言えそうですが、分母が0にならないように、$2x-1 \neq 0$ かつ $2x+1 \neq 0$ を満たす必要があります。

したがって、$x \neq \frac{1}{2}$ かつ $x \neq -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x \neq \frac{1}{2}$ かつ $x \neq -\frac{1}{2}$ を満たすすべての実数