点 $(x, y)$ が領域 $x^2 + y^2 \le 1$ を動くとき、$x+y+xy$ のとる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ が領域 $x^2 + y^2 \le 1$ を動くとき、$x+y+xy$ のとる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x+y = s$, $xy = t$ とおきます。

$x$ と $y$ は $u^2 - su + t = 0$ の2つの実数解なので、判別式 $D = s^2 - 4t \ge 0$ より、

$$t \le \frac{s^2}{4}$$

また、$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2xy = s^2-2t \le 1$ より

$$t \ge \frac{s^2-1}{2}$$

よって、

$$\frac{s^2-1}{2} \le t \le \frac{s^2}{4}$$

これより、$\frac{s^2-1}{2} \le \frac{s^2}{4}$ であり、

$2s^2-4 \le s^2$

$s^2 \le 4$

$-2 \le s \le 2$

$k = x+y+xy = s+t$ とおくと、 $t=k-s$

$\frac{s^2-1}{2} \le k-s \le \frac{s^2}{4}$

$\frac{s^2-1}{2} \le k-s$ より、$k \ge \frac{s^2}{2}+s-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(s+1)^2 - 1$

$-2 \le s \le 2$ より、$s=-1$ で最小値 $-1$ をとる。

$s=2$ で最大値 $\frac{4}{2}+2-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ をとる。

$k-s \le \frac{s^2}{4}$ より、$k \le \frac{s^2}{4} + s = \frac{1}{4}(s+2)^2 - 1$

$-2 \le s \le 2$ より、$s=-2$ で最小値 $-1$ をとる。

$s=2$ で最大値 $\frac{4}{4}+2=3$ をとる。

$s=2$ のとき、$t \le \frac{4}{4}=1$ より $x=y=1$ であり、$k=x+y+xy=1+1+1=3$

$k=3$

ここで、$f(x, y) = x+y+xy$ とおく。

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

$L(x,y,\lambda)=x+y+xy-\lambda(x^2+y^2-1)$ とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x}=1+y-2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y}=1+x-2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-1 = 0$

$1+y = 2 \lambda x$, $1+x = 2 \lambda y$

$x \ne 0, y \ne 0$

$\frac{1+y}{x} = \frac{1+x}{y}$

$y+y^2 = x+x^2$

$y^2-x^2+y-x=0$

$(y-x)(y+x)+(y-x)=0$

$(y-x)(y+x+1)=0$

$y=x$ または $y+x+1=0$

(1) $y=x$ のとき、$2x^2=1$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$k=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

$x=y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$k=-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

(2) $y=-x-1$ のとき、$x^2+(-x-1)^2=1$

$x^2+x^2+2x+1=1$

$2x^2+2x=0$

$2x(x+1)=0$

$x=0, -1$

$x=0, y=-1$ のとき、$k=0+(-1)+0=-1$

$x=-1, y=0$ のとき、$k=-1+0+0=-1$

境界 $x^2+y^2 \le 1$ の内部で極値を取る場合を考える。

$f_x = 1+y$, $f_y = 1+x$

$f_x = 0, f_y = 0$ より、 $x=y=-1$ となるが、これは領域に含まれない。

よって、最大値は $3$, 最小値は $-1$。

3. 最終的な答え

$-1 \le x+y+xy \le 3$