与えられた2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k = 0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 * 2つの異なる実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める。 * 2より大きい2つの異なる実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k = 0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

* 2つの異なる実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める。

* 2より大きい2つの異なる実数解をもつような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

* 2つの異なる実数解をもつ条件

2次方程式が2つの異なる実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(3k) = 4k^2 - 12k = 4k(k-3) > 0$

したがって、$k < 0$ または $k > 3$ となります。よって、4に当てはまるのは0で、5に当てはまるのは3です。

* 2より大きい2つの異なる実数解をもつ条件

$f(x) = x^2 - 2kx + 3k$ とします。2つの解が2より大きいという条件は、以下の3つの条件で表されます。

1. 2つの異なる実数解を持つ（判別式 $D > 0$）

2. 軸 $x=k$ が2より大きい（$k > 2$）

3. $f(2) > 0$

まず、判別式 $D > 0$ より、$k < 0$ または $k > 3$。

次に、$k > 2$ である必要があります。

最後に、$f(2) = 2^2 - 2k(2) + 3k = 4 - 4k + 3k = 4 - k > 0$ より、$k < 4$。

これらの条件をすべて満たす $k$ の範囲を求めます。

$k < 0$ または $k > 3$ と $k > 2$ と $k < 4$ を満たす $k$ は、$3 < k < 4$。

したがって、6に当てはまるのは3で、7に当てはまるのは4です。

3. 最終的な答え

* 4: 0, 5: 3

* 6: 3, 7: 4