$a+b = 4$、$ab = -\frac{9}{4}$ のとき、$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a+b = 4$、$ab = -\frac{9}{4}$ のとき、$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ を展開します。

$(a^2 - 1)(b^2 - 1) = a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$

次に、$a^2 + b^2$ の値を $(a+b)$ と $ab$ を用いて表します。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

問題文より、$a+b=4$、$ab = -\frac{9}{4}$ なので、

$a^2 + b^2 = (4)^2 - 2(-\frac{9}{4}) = 16 + \frac{9}{2} = \frac{32}{2} + \frac{9}{2} = \frac{41}{2}$

また、$a^2b^2 = (ab)^2$ なので、

$a^2b^2 = (-\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$

よって、

$(a^2 - 1)(b^2 - 1) = a^2b^2 - (a^2 + b^2) + 1 = \frac{81}{16} - \frac{41}{2} + 1 = \frac{81}{16} - \frac{41 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16} = \frac{81}{16} - \frac{328}{16} + \frac{16}{16} = \frac{81 - 328 + 16}{16} = \frac{-231}{16}$

3. 最終的な答え

$(a^2 - 1)(b^2 - 1) = -\frac{231}{16}$