$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 $\theta$ があり、2次方程式 $15x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解が $\cos\theta$ と $\tan\theta$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす実数 $\theta$ があり、2次方程式 $15x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解が $\cos\theta$ と $\tan\theta$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

が成り立つ。

この問題の場合、$\alpha = \cos\theta$、$\beta = \tan\theta$ であり、2次方程式は $15x^2 + ax + 12 = 0$ なので、解と係数の関係より、

$\cos\theta + \tan\theta = -\frac{a}{15}$

$\cos\theta \cdot \tan\theta = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

が成り立つ。

$\cos\theta \cdot \tan\theta = \cos\theta \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin\theta$ なので、

$\sin\theta = \frac{4}{5}$

が成り立つ。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta > 0$ なので、$\cos\theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

$\cos\theta + \tan\theta = \frac{3}{5} + \frac{4}{3} = \frac{9}{15} + \frac{20}{15} = \frac{29}{15}$

$\cos\theta + \tan\theta = -\frac{a}{15}$ なので、$\frac{29}{15} = -\frac{a}{15}$

$a = -29$

3. 最終的な答え

$a = -29$