2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ とするとき、$\alpha$ の値を求め、さらに $\alpha^3 - 2\alpha^2 + 5$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ とするとき、$\alpha$ の値を求め、さらに $\alpha^3 - 2\alpha^2 + 5$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 3x + 3 = 0$ を解の公式を用いて解きます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この場合、$a = 1$, $b = -3$, $c = 3$ なので、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、解は $x = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{3 - i\sqrt{3}}{2}$ です。虚部が正である解は $\alpha = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ です。

次に、$\alpha^3 - 2\alpha^2 + 5$ の値を計算します。$\alpha = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ を利用します。

$\alpha^2 = (\frac{3 + i\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{6 + 6i\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + 3i\sqrt{3}}{2}$

$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = (\frac{3 + i\sqrt{3}}{2})(\frac{3 + 3i\sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 9i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} - 9}{4} = \frac{12i\sqrt{3}}{4} = 3i\sqrt{3}$

よって、

$\alpha^3 - 2\alpha^2 + 5 = 3i\sqrt{3} - 2(\frac{3 + 3i\sqrt{3}}{2}) + 5 = 3i\sqrt{3} - (3 + 3i\sqrt{3}) + 5 = 3i\sqrt{3} - 3 - 3i\sqrt{3} + 5 = 2$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$

$\alpha^3 - 2\alpha^2 + 5 = 2$