数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 4 - \frac{4}{a_n}$ で定義され、数列$\{b_n\}$が $b_n = na_n$ で定義されている。 (1) $b_1, b_2, b_3, b_4$ を求める。 (2) $b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ を用いて表す。 (3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を推測し、数学的帰納法を用いて示す。 (4) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。 (5) 数列 $\{c_n\}$ を $c_1 = a_1, c_2 = a_1a_2, c_3 = a_1a_2a_3$, 以下 $c_n = a_1a_2\dots a_n (n=4, 5, 6, \dots)$ で定める。$\sum_{k=1}^{n} c_k$ を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 4 - \frac{4}{a_n}$ で定義され、数列$\{b_n\}$が $b_n = na_n$ で定義されている。

(1) $b_1, b_2, b_3, b_4$ を求める。

(2) $b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ を用いて表す。

(3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を推測し、数学的帰納法を用いて示す。

(4) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

(5) 数列 $\{c_n\}$ を $c_1 = a_1, c_2 = a_1a_2, c_3 = a_1a_2a_3$, 以下 $c_n = a_1a_2\dots a_n (n=4, 5, 6, \dots)$ で定める。$\sum_{k=1}^{n} c_k$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = 4$

$a_2 = 4 - \frac{4}{a_1} = 4 - \frac{4}{4} = 4-1 = 3$

$a_3 = 4 - \frac{4}{a_2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3}$

$a_4 = 4 - \frac{4}{a_3} = 4 - \frac{4}{\frac{8}{3}} = 4 - \frac{12}{8} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8-3}{2} = \frac{5}{2}$

$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1 \cdot 4 = 4$

$b_2 = 2 \cdot a_2 = 2 \cdot 3 = 6$

$b_3 = 3 \cdot a_3 = 3 \cdot \frac{8}{3} = 8$

$b_4 = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10$

(2)

$b_{n+1} = (n+1)a_{n+1} = (n+1)\left(4 - \frac{4}{a_n}\right) = (n+1)\left(4 - \frac{4n}{b_n}\right) = (n+1)\left(\frac{4b_n - 4n}{b_n}\right)$

$b_{n+1} = \frac{4(n+1)(b_n-n)}{b_n}$

(3)

$b_1 = 4, b_2 = 6, b_3 = 8, b_4 = 10$ より、 $b_n = 2n+2$ と推測できる。

数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき $b_1 = 2(1)+2 = 4$ で成立。

(ii) $n=k$ のとき $b_k = 2k+2$ が成立すると仮定する。

$b_{k+1} = \frac{4(k+1)(b_k - k)}{b_k} = \frac{4(k+1)(2k+2-k)}{2k+2} = \frac{4(k+1)(k+2)}{2(k+1)} = 2(k+2) = 2(k+1) + 2$

よって $n=k+1$ のときも成立。

したがって、$b_n = 2n+2$

(4)

$b_n = na_n = 2n+2$ より $a_n = \frac{2n+2}{n} = 2 + \frac{2}{n}$

(5)

$c_n = a_1a_2\dots a_n = \prod_{k=1}^n a_k = \prod_{k=1}^n \left(2 + \frac{2}{k}\right) = \prod_{k=1}^n \frac{2k+2}{k} = \prod_{k=1}^n \frac{2(k+1)}{k} = 2^n \prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k} = 2^n \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n+1}{n} = 2^n (n+1)$

$\sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n 2^k (k+1) = \sum_{k=1}^n (k+1)2^k = \sum_{k=1}^n k2^k + \sum_{k=1}^n 2^k$

$\sum_{k=1}^n 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$

$S = \sum_{k=1}^n k2^k = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n2^n$

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + (n-1)2^n + n2^{n+1}$

$-S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n2^{n+1} = \frac{2(2^n-1)}{2-1} - n2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n2^{n+1} = (1-n)2^{n+1} - 2$

$S = (n-1)2^{n+1} + 2$

$\sum_{k=1}^n c_k = (n-1)2^{n+1} + 2 + 2^{n+1} - 2 = n2^{n+1} = n2 \cdot 2^n = n2^{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $b_1 = 4, b_2 = 6, b_3 = 8, b_4 = 10$

(2) $b_{n+1} = \frac{4(n+1)(b_n-n)}{b_n}$

(3) $b_n = 2n+2$

(4) $a_n = 2 + \frac{2}{n}$

(5) $\sum_{k=1}^{n} c_k = n2^{n+1}$