問題は、正四角錐と立方体を合わせた立体に関するものです。 (1) $PA = AB = 2$ cmのとき、この立体の体積を求めます。 (2) 辺AEとねじれの位置にある辺の本数を求めます。 (3) 2つの数の組 $(a, b)$, $(c, d)$ について、記号 $*$ を $(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ と定義するとき、 (i) $(1, -2) * (3, 1)$ を計算します。 (ii) $(x, y) * (2, 3) = (-17, 7)$ のとき、$x, y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、正四角錐と立方体を合わせた立体に関するものです。

(1) $PA = AB = 2$ cmのとき、この立体の体積を求めます。

(2) 辺AEとねじれの位置にある辺の本数を求めます。

(3) 2つの数の組 $(a, b)$, $(c, d)$ について、記号 $*$ を $(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ と定義するとき、

(i) $(1, -2) * (3, 1)$ を計算します。

(ii) $(x, y) * (2, 3) = (-17, 7)$ のとき、$x, y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 立体の体積を求めます。

まず立方体の体積を求めます。一辺が2cmなので、体積は$2 \times 2 \times 2 = 8$ cm$^3$です。

次に正四角錐の体積を求めます。底面は一辺が2cmの正方形なので、面積は$2 \times 2 = 4$ cm$^2$です。高さは$PA = 2$ cmなので、体積は$\frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3}$ cm$^3$です。

したがって、全体の体積は$8 + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} + \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$ cm$^3$です。

(2) 辺AEとねじれの位置にある辺を数えます。

辺AEと平行ではなく、交わらない辺を数えます。

具体的には、辺BC, 辺CG, 辺DH, 辺PF, 辺PG, 辺PHの6本です。

(3)

(i) $(1, -2) * (3, 1)$ を計算します。

$(1, -2) * (3, 1) = (1 \times 3 - (-2) \times 1, 1 \times 1 + (-2) \times 3) = (3 + 2, 1 - 6) = (5, -5)$

(ii) $(x, y) * (2, 3) = (-17, 7)$ のとき、$x, y$ の値を求めます。

$(x, y) * (2, 3) = (2x - 3y, 3x + 2y) = (-17, 7)$

連立方程式を立てます。

$2x - 3y = -17$

$3x + 2y = 7$

これを解きます。

上の式を2倍、下の式を3倍すると

$4x - 6y = -34$

$9x + 6y = 21$

足し合わせると

$13x = -13$

$x = -1$

$3(-1) + 2y = 7$

$-3 + 2y = 7$

$2y = 10$

$y = 5$

したがって、$x = -1, y = 5$です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$ cm$^3$

(2) 6本

(3) (i) $(5, -5)$ (ii) $x = -1, y = 5$