xy平面上に点(0, 5)を中心とする半径 $r$ ($r \leq 5$) の円 $C$ と放物線 $H: y = \frac{1}{4}x^2$ を考える。 (1) 円 $C$ と放物線 $H$ の共有点の個数が2個のとき、半径 $r$ の値および、共有点の座標を求めよ。 (2) (1) で求めた円 $C$ の外側と放物線 $H$ の上側との共通部分のうち点 $(0, \frac{1}{2})$ を含む部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に点(0, 5)を中心とする半径 $r$ ($r \leq 5$) の円 $C$ と放物線 $H: y = \frac{1}{4}x^2$ を考える。

(1) 円 $C$ と放物線 $H$ の共有点の個数が2個のとき、半径 $r$ の値および、共有点の座標を求めよ。

(2) (1) で求めた円 $C$ の外側と放物線 $H$ の上側との共通部分のうち点 $(0, \frac{1}{2})$ を含む部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式は $x^2 + (y-5)^2 = r^2$ であり、放物線 $H$ の方程式は $y = \frac{1}{4}x^2$ である。共有点の座標を求めるために、$x^2 = 4y$ を円 $C$ の方程式に代入する。

$4y + (y-5)^2 = r^2$

$4y + y^2 - 10y + 25 = r^2$

$y^2 - 6y + (25 - r^2) = 0$

この $y$ に関する2次方程式が2個の共有点を持つのは、判別式が0となる場合である。

$D = (-6)^2 - 4(1)(25 - r^2) = 36 - 100 + 4r^2 = 4r^2 - 64 = 0$

$4r^2 = 64$

$r^2 = 16$

$r = 4$ ($r \leq 5$を満たす)

$y^2 - 6y + (25 - 16) = 0$

$y^2 - 6y + 9 = 0$

$(y-3)^2 = 0$

$y = 3$

$x^2 = 4y = 4(3) = 12$

$x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

したがって、共有点の座標は $(2\sqrt{3}, 3)$ と $(-2\sqrt{3}, 3)$ である。

(2) 求める面積は、放物線 $H$ の上側かつ円 $C$ の外側にある部分で、点 $(0, \frac{1}{2})$ を含む部分である。

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と円 $x^2 + (y-5)^2 = 16$ の交点の $x$ 座標は $\pm 2\sqrt{3}$ である。

求める面積 $S$ は

$S = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{4}x^2 - (5 - \sqrt{16-x^2}))dx$

$= \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{4}x^2 - 5 + \sqrt{16-x^2})dx$

$= 2 \int_0^{2\sqrt{3}} (\frac{1}{4}x^2 - 5 + \sqrt{16-x^2})dx$

$= 2 [\frac{1}{12}x^3 - 5x]_0^{2\sqrt{3}} + 2 \int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{16-x^2}dx$

$x = 4\sin\theta$ とおくと、$dx = 4\cos\theta d\theta$, $\sqrt{16-x^2} = 4\cos\theta$。

$x = 0$ のとき $\theta = 0$, $x = 2\sqrt{3}$ のとき $\sin\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, よって $\theta = \frac{\pi}{3}$。

$\int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{16-x^2}dx = \int_0^{\pi/3} 4\cos\theta \cdot 4\cos\theta d\theta = 16 \int_0^{\pi/3} \cos^2\theta d\theta$

$= 16 \int_0^{\pi/3} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 8 [\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]_0^{\pi/3} = 8 (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3}) = 8 (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{8\pi}{3} + 2\sqrt{3}$

$S = 2 [\frac{1}{12}(2\sqrt{3})^3 - 5(2\sqrt{3})] + 2(\frac{8\pi}{3} + 2\sqrt{3}) = 2(\frac{24\sqrt{3}}{12} - 10\sqrt{3}) + \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3} = 2(2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3} = -16\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3} = \frac{16\pi}{3} - 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 半径 $r = 4$, 共有点の座標は $(2\sqrt{3}, 3)$ と $(-2\sqrt{3}, 3)$.

(2) 面積 $S = \frac{16\pi}{3} - 12\sqrt{3}$.