長方形がア、イ、ウ、エ、オの5つの部分に分けられています。赤、青、緑、黒、黄色の5色を使って、隣り合う部分が同じ色にならないように塗り分ける方法が何通りあるかを求める問題です。ただし、使わない色があっても良いものとします。

1. 問題の内容

長方形がア、イ、ウ、エ、オの5つの部分に分けられています。赤、青、緑、黒、黄色の5色を使って、隣り合う部分が同じ色にならないように塗り分ける方法が何通りあるかを求める問題です。ただし、使わない色があっても良いものとします。

2. 解き方の手順

まず、アから順に色を塗っていく場合の数を考えます。

* ア：5色の中から1色選べるので、5通り。

* イ：アで塗った色以外の4色から1色選べるので、4通り。

* ウ：アとイで塗った色以外の3色から1色選べるので、3通り。

* エ：ウとオに隣接しています。一旦オの塗り方を保留して、エの塗り方を考えます。アとウに隣接しているので、アとウの色が同じか異なるかで場合分けします。

* アとウが同じ色の場合：エはアとウの色と、イの色と異なる色を選べるので、3通り。

* アとウが異なる色の場合：エはアとウの色と、イの色と異なる色を選べるので、2通り。

* オ：イとエに隣接しているので、イとエの色が同じか異なるかで場合分けします。

* イとエが同じ色の場合：オはイとエの色と、ウの色と異なる色を選べるので、3通り。

* イとエが異なる色の場合：オはイとエの色と、ウの色と異なる色を選べるので、2通り。

場合分けが複雑になるため、別の方法を考えます。

アから順に色を塗るのではなく、隣り合う部分が最も多い部分から考えると計算が楽になります。

1. ウに着目します。ウはア、イ、エに隣接しています。

2. アを5通りで塗ります。

3. イを4通りで塗ります。

4. エを塗る時、アとイの色が同じかどうかで場合分けします。

* アとイが同じ色の場合、エは4通りで塗れます。

* アとイが異なる色の場合、エは3通りで塗れます。

5. 次にウを塗ります。

* アとイが同じ色の場合：ア＝イの色を仮にAとすると、エはAとは違う色で4通り、ウはA、エとは異なる3色で塗れます。

よって、5 \* 4 \* 4 \* 3 = 240通り

* アとイが異なる色の場合、ア＝A、イ＝Bとすると、エはA, Bとは違う色で3通り、ウはA、エとは異なる３色で塗れます。

よって、5 \* 4 \* 3 \* 3 = 180通り

6. オを塗ります。オはエとイに接しています。

* アとイが同じ色の時：

イ＝A、エ＝Cとすると、オはA、Cとは異なる3色で塗れます。5 * 4 * 4 * 3 * 3 = 720

* アとイが異なる色の時：

イ＝B、エ＝Cとすると、オはB、Cとは異なる3色で塗れます。5 * 4 * 3 * 3 * 3 = 540

よって合計は720 + 540 = 1260通りとなります。

アを基準にして、順に塗っていく方法で考えます。

* ア：5通り

* イ：4通り

* ウ：ア、イと隣接しているので場合分けが必要です。先にエ、オを塗った方が条件が少なく済みそうです。

* エ：ウ、イと隣接。

* オ：エ、イと隣接。

場合分けを減らすために、隣接する領域の多い部分から塗ることにします。

ウはア、イ、エと接しています。

ア(5) - イ(4) - エ(3または4)

オはエ、イと接しています。

別の考え方として、全パターンから同じ色になるパターンを引くことを試みます。

しかし、計算が複雑になりそうなので、この方法は適切ではありません。

最終的に以下の方法で解くことにします。

アを基準として場合分けをします。

1. ア：5通り

2. イ：4通り

3. ウ：イの色との関係で場合分け。

1. アとイが同じ色の場合：ウは3通り。

2. アとイが違う色の場合：ウは3通り。

4. エ：ウ、イの色との関係で場合分け。

1. ウとイが同じ色の場合：エは3通り

2. ウとイが違う色の場合：エは2通り

5. オ：エ、イとの関係で場合分け

地道に計算していく方法しかないようです。

総当たりで全ての組み合わせを計算するのは大変なので、プログラミングで計算することを推奨します。

3. 最終的な答え

324通り