箱の中に3枚のカードA, B, Cが入っている。この箱の中から1枚のカードを無作為に取り出し、取り出したカードに書かれている文字を記録し、カードを箱の中に戻すことを1回の試行とする。 (1) 試行を3回繰り返す。 (i) 3回とも同じカードが取り出される確率を求める。 (ii) ちょうど2種類のカードが取り出される確率を求める。 (2) 同じカードがちょうど3回取り出された時点で試行を終了することにする。7回目で試行が終了となる確率を求める。

1. 問題の内容

箱の中に3枚のカードA, B, Cが入っている。この箱の中から1枚のカードを無作為に取り出し、取り出したカードに書かれている文字を記録し、カードを箱の中に戻すことを1回の試行とする。

(1) 試行を3回繰り返す。

(i) 3回とも同じカードが取り出される確率を求める。

(ii) ちょうど2種類のカードが取り出される確率を求める。

(2) 同じカードがちょうど3回取り出された時点で試行を終了することにする。7回目で試行が終了となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 3回とも同じカードが取り出される確率

3回ともAが出る確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

3回ともBが出る確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

3回ともCが出る確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

よって、求める確率は $\frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

(ii) ちょうど2種類のカードが取り出される確率

2種類のカードを選び出す方法は、AB, BC, CA の3通り。

ABの場合、3回のうちAが1回、Bが2回出る場合と、Aが2回、Bが1回出る場合がある。

Aが1回、Bが2回出る確率は $\frac{3!}{1!2!} \times (\frac{1}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^2 = 3 \times \frac{1}{27} = \frac{3}{27}$

Aが2回、Bが1回出る確率は $\frac{3!}{2!1!} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{27} = \frac{3}{27}$

ABの場合の確率は $\frac{3}{27} + \frac{3}{27} = \frac{6}{27}$

BC, CAの場合も同様に $\frac{6}{27}$

よって、求める確率は $\frac{6}{27} + \frac{6}{27} + \frac{6}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

(2) 7回目で試行が終了となる確率

6回目までに同じカードが2回出ており、7回目に同じカードが出る確率を求める。

6回の試行で同じカードがちょうど2回出る確率は、6回の試行で2回同じカードが出て、残り4回は別のカードが出る確率となる。

ただし、7回目に試行が終了するので、同じカードが3回出るのは7回目。

6回目までには同じカードが2回出ている必要がある。

まず、7回目にどのカードが出るかを考える。A, B, Cの3通り。ここではAが出ると仮定する。

6回目までにAが2回、B, Cがそれぞれ2回ずつ出る確率を考える。

$\frac{6!}{2!2!2!} (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = \frac{6!}{2!2!2!} (\frac{1}{3})^6 = \frac{720}{8} \times \frac{1}{729} = 90 \times \frac{1}{729} = \frac{90}{729} = \frac{10}{81}$

7回目にAが出る確率は $\frac{1}{3}$ なので、$\frac{10}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{10}{243}$

同様に、7回目にB, Cが出る確率も $\frac{10}{243}$

求める確率は $3 \times \frac{10}{243} = \frac{30}{243} = \frac{10}{81}$

3. 最終的な答え

(1) (i) $\frac{1}{9}$

(ii) $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{10}{81}$