20人の生徒の数学の得点Xと英語の得点Yのデータが与えられています。数学の得点Xの平均値A、英語の得点Yの分散Bを求め、XとYの共分散が1.0であるときの相関係数を求める問題です。与えられたデータは以下の通りです。 * 数学の得点Xと人数: * 得点X: 3, 4, 5, 6, 7, 8 * 人数: 2, 5, 8, 2, 2, 1 * 英語の得点Yと人数: * 得点Y: 3, 4, 5, 6, 7, 8 * 人数: 1, 2, 2, 8, 5, 2 * XとYの平均値と分散: * 平均値: XはA, Yは6.0 * 分散: Xは1.6, YはB * XとYの共分散: 1.0

1. 問題の内容

20人の生徒の数学の得点Xと英語の得点Yのデータが与えられています。数学の得点Xの平均値A、英語の得点Yの分散Bを求め、XとYの共分散が1.0であるときの相関係数を求める問題です。与えられたデータは以下の通りです。

* 数学の得点Xと人数:

* 得点X: 3, 4, 5, 6, 7, 8

* 人数: 2, 5, 8, 2, 2, 1

* 英語の得点Yと人数:

* 得点Y: 3, 4, 5, 6, 7, 8

* 人数: 1, 2, 2, 8, 5, 2

* XとYの平均値と分散:

* 平均値: XはA, Yは6.0

* 分散: Xは1.6, YはB

* XとYの共分散: 1.0

2. 解き方の手順

(1) 数学の得点の平均値Aの計算

平均値Aは、各得点とその人数を掛け合わせたものを合計し、総人数で割ることで求められます。

$A = \frac{(3 \times 2) + (4 \times 5) + (5 \times 8) + (6 \times 2) + (7 \times 2) + (8 \times 1)}{20}$

$A = \frac{6 + 20 + 40 + 12 + 14 + 8}{20}$

$A = \frac{100}{20}$

$A = 5$

(2) 英語の得点の分散Bの計算

まず、英語の平均値は6.0と与えられています。分散Bは、各得点と平均値の差の二乗に人数を掛け合わせたものを合計し、総人数で割ることで求められます。

$B = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{6} (Y_i - 6)^2 \times \text{人数}_i$

$B = \frac{(3-6)^2 \times 1 + (4-6)^2 \times 2 + (5-6)^2 \times 2 + (6-6)^2 \times 8 + (7-6)^2 \times 5 + (8-6)^2 \times 2}{20}$

$B = \frac{(-3)^2 \times 1 + (-2)^2 \times 2 + (-1)^2 \times 2 + (0)^2 \times 8 + (1)^2 \times 5 + (2)^2 \times 2}{20}$

$B = \frac{9 + 8 + 2 + 0 + 5 + 8}{20}$

$B = \frac{32}{20}$

$B = 1.6$

(3) 相関係数の計算

相関係数rは、共分散をXとYの標準偏差の積で割ることで求められます。

$r = \frac{\text{共分散}}{\sqrt{\text{Xの分散}} \times \sqrt{\text{Yの分散}}}$

Xの分散は1.6、Yの分散は1.6、共分散は1.0なので、

$r = \frac{1.0}{\sqrt{1.6} \times \sqrt{1.6}}$

$r = \frac{1.0}{1.6}$

$r = 0.625$

3. 最終的な答え

(1) 数学の得点の平均値Aは 5 である。

(2) 英語の得点の分散Bは 1.6 である。

(3) XとYの共分散は1.0である。このとき、XとYの相関係数は 0.625 である。