横が縦より 5cm 長い長方形の厚紙がある。この 4 すみから 1 辺が 2cm の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、その容積は 1092 cm$^3$ になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めよ。

1. 問題の内容

横が縦より 5cm 長い長方形の厚紙がある。この 4 すみから 1 辺が 2cm の正方形を切り取り、直方体の容器をつくると、その容積は 1092 cm$^3$ になる。はじめの厚紙の縦と横の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、厚紙の縦の長さを $x$ cm とすると、横の長さは $(x+5)$ cm と表せる。

4 すみから 1 辺が 2cm の正方形を切り取り、直方体の容器を作るので、直方体の底面の縦の長さは $(x - 4)$ cm、横の長さは $(x+5-4) = (x+1)$ cm となる。

直方体の高さは 2cm であるから、直方体の容積は $2(x-4)(x+1)$ cm$^3$ と表せる。

問題文より、この容積が 1092 cm$^3$ であるから、次の方程式が成り立つ。

$2(x-4)(x+1) = 1092$

両辺を 2 で割ると、

$(x-4)(x+1) = 546$

展開すると、

$x^2 - 3x - 4 = 546$

移項すると、

$x^2 - 3x - 550 = 0$

この 2 次方程式を解く。因数分解すると、

$(x - 25)(x + 22) = 0$

したがって、 $x = 25, -22$ となる。

$x$ は長さなので、$x>0$ であるから、$x = 25$ となる。

縦の長さは 25 cm。

横の長さは $25 + 5 = 30$ cm。

3. 最終的な答え

縦の長さ：25 cm

横の長さ：30 cm