与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる4つの解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。また、(1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる3つの解を持つような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた実数 $a$ に対して、方程式 $2\cos^2\theta - \sin\theta = a$ (1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる4つの解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。また、(1) が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる3つの解を持つような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $\sin\theta$ で表すことを試みる。$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ であるから、式(1)は

$2(1-\sin^2\theta) - \sin\theta = a$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta = a$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 2 + a = 0$

ここで、$x = \sin\theta$ とおくと、$-1 \le x \le 1$ である。このとき、方程式は

$2x^2 + x - 2 + a = 0$

となる。これを $f(x) = 2x^2 + x - 2 + a$ とおく。

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ で異なる4つの解を持つとき:

$-1 < x < 1$ の範囲で、$f(x) = 0$ が異なる2つの解を持つ必要がある。なぜなら、$\sin\theta = x$ は $-1 < x < 1$ に対して2つの $\theta$ の解を持ち、 $x = \pm 1$ に対して一つの $\theta$ の解を持つからである。したがって、$f(x) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、$-1 < \alpha < \beta < 1$ でなければならない。

$f(x) = 2x^2 + x - 2 + a = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-2+a)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8(-2+a)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{17 - 8a}}{4}$

判別式を $D$ とすると、$D = 17 - 8a > 0$ でなければならない。よって、$a < \frac{17}{8}$ 。

また、軸は $x = -\frac{1}{4}$ であり、 $-1 < -\frac{1}{4} < 1$ は満たされる。

$f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$ でなければならない。

$f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) - 2 + a = 2 - 1 - 2 + a = a - 1 > 0$ より $a > 1$。

$f(1) = 2(1)^2 + 1 - 2 + a = 2 + 1 - 2 + a = a + 1 > 0$ より $a > -1$。

したがって、$1 < a < \frac{17}{8}$。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ で異なる3つの解を持つとき:

$f(x) = 0$ の解の少なくとも一つが $x = \pm 1$ でなければならない。

(i) $x = 1$ が解のとき: $f(1) = 2(1)^2 + 1 - 2 + a = 1 + a = 0$ より $a = -1$。

このとき、$2x^2 + x - 3 = 0 \Rightarrow (2x+3)(x-1)=0$ より、$x = 1, -\frac{3}{2}$ 。$-\frac{3}{2}$ は範囲外なので、$x=1$ のみ。このときは $\theta = \frac{\pi}{2}$ 一つのみなので不適。

(ii) $x = -1$ が解のとき: $f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) - 2 + a = -1 + a = 0$ より $a = 1$。

このとき、$2x^2 + x - 1 = 0 \Rightarrow (2x-1)(x+1)=0$ より、$x = -1, \frac{1}{2}$ 。

$x=-1$ より $\theta = \frac{3\pi}{2}$、$x = \frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ 。よって、3つの解を持つ。

(iii) $-1 < x < 1$ に重解を持つ場合: 判別式 $D = 17 - 8a = 0$ より $a = \frac{17}{8}$。 $2x^2 + x - 2 + \frac{17}{8} = 0$ より $16x^2 + 8x + 1 = 0$, $x = -\frac{1}{4}$ これは $-1 < x < 1$ を満たすので、 $\sin\theta = -\frac{1}{4}$ は 2 つの解をもつ。$x=\pm1$に解を持たないため、異なる解の個数は2。

以上より、 $a = 1$。

3. 最終的な答え

異なる4つの解をもつような $a$ の値の範囲: $1 < a < \frac{17}{8}$

異なる3つの解をもつような $a$ の値: $a = 1$