与えられた順列や階乗の計算問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた順列や階乗の計算問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) $5P3$ の計算：順列の公式 $nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ を用いる。

$5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) $6P1$ の計算：順列の公式 $nP_1 = n$ を用いる。

$6P_1 = 6$

(3) $4P4$ の計算：順列の公式 $nP_n = n!$ を用いる。

$4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(4) $7P4$ の計算：順列の公式 $nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ を用いる。

$7P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(5) $20P2$ の計算：順列の公式 $nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ を用いる。

$20P_2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

(6) $8!$ の計算：階乗の定義 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ を用いる。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

(7) $7P4 \times 3!$ の計算：$7P4$は既に計算済み。階乗の定義 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ を用いる。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$7P_4 \times 3! = 840 \times 6 = 5040$

(8) $\frac{7!}{4!}$ の計算：階乗の定義 $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ を用いる。

$\frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) 6

(3) 24

(4) 840

(5) 380

(6) 40320

(7) 5040

(8) 210