(1) 500 の正の約数の個数を求める問題です。 (2) 10円玉 2 枚、50 円玉 1 枚、500 円玉 2 枚の一部または全部を使って払える金額の通り数を求める問題です（ただし、0 円を含む）。

1. 問題の内容

(1) 500 の正の約数の個数を求める問題です。

(2) 10円玉 2 枚、50 円玉 1 枚、500 円玉 2 枚の一部または全部を使って払える金額の通り数を求める問題です（ただし、0 円を含む）。

2. 解き方の手順

(1) 500 の正の約数の個数を求める。

まず、500 を素因数分解します。

$500 = 2^2 \times 5^3$

約数の個数は、各素因数の指数の $+1$ を掛け合わせたものになります。

よって、約数の個数は $(2+1) \times (3+1) = 3 \times 4 = 12$ 個です。

(2) 10円玉 2 枚、50 円玉 1 枚、500 円玉 2 枚の一部または全部を使って払える金額の通り数を求める。

10円玉は 0 枚、1 枚、2 枚の 3 通り。

50円玉は 0 枚、1 枚の 2 通り。

500円玉は 0 枚、1 枚、2 枚の 3 通り。

これらの組み合わせは $3 \times 2 \times 3 = 18$ 通りです。

ただし、0 円の場合を除くので、払える金額の通り数は $18 - 1 = 17$ 通りです。

ここで、10円玉2枚で20円、50円玉1枚で50円なので、重複する金額がないか確認します。

10円玉をすべて使っても20円にしかなりません。50円玉で50円を払うことができるので、異なる支払い方で同じ金額になることはありません。

よって、17 通りが答えとなります。

3. 最終的な答え

(1) 12 個

(2) 17 通り