与えられた数式 $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$ を計算し、分母を有理化してください。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$ を計算し、分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{7} + 2$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}$

次に、分母を計算します。

$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$

そして、分子を計算します。

$3\sqrt{2}(\sqrt{7}+2) = 3\sqrt{14} + 6\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{3\sqrt{14} + 6\sqrt{2}}{3}$

最後に、分子と分母を3で割ります。

$\frac{3\sqrt{14} + 6\sqrt{2}}{3} = \sqrt{14} + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{14} + 2\sqrt{2}$