集合 $A$ は、「$x$ は偶数の3乗で表される、$100$ 以上 $200$ 未満の正の整数」という条件を満たす $x$ の集合です。集合 $A$ の要素の個数 $n(A)$ を求めます。

1. 問題の内容

集合 $A$ は、「$x$ は偶数の3乗で表される、$100$ 以上 $200$ 未満の正の整数」という条件を満たす $x$ の集合です。集合 $A$ の要素の個数 $n(A)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、偶数の3乗がどのような数になるかを考えます。偶数は $2k$ （$k$ は整数）と表せるので、その3乗は $(2k)^3 = 8k^3$ となります。つまり、偶数の3乗は8の倍数です。

次に、$100$ 以上 $200$ 未満の8の倍数を探します。

$100 \div 8 = 12.5$ なので、最小の8の倍数は $8 \times 13 = 104$ です。

$200 \div 8 = 25$ なので、最大の8の倍数は $8 \times 24 = 192$ です。

したがって、$100$ 以上 $200$ 未満の8の倍数は、$8 \times 13, 8 \times 14, 8 \times 15, \dots, 8 \times 24$ です。

$8k^3$ が偶数の3乗になるためには、$8k^3 = (2n)^3 = 8n^3$ となる整数 $n$ が存在する必要があります。つまり、$k^3 = n^3$ となる必要があるので、$k=n$ となります。言い換えると、偶数の3乗は $8n^3$ と表され、$100$ 以上 $200$ 未満の数で、この形になっている数を探します。

$8 \times 13, 8 \times 14, \dots, 8 \times 24$ のうち、$k$ が3乗数となるものを探します。

$13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24$ のうち、3乗数は存在しません。

ここで考え方を変えます。

$x$ は偶数の3乗なので、$x = (2n)^3 = 8n^3$ と表せます。

$100 \le x < 200$ より $100 \le 8n^3 < 200$ です。

この不等式を $n^3$ について解くと、

$\frac{100}{8} \le n^3 < \frac{200}{8}$

$12.5 \le n^3 < 25$ となります。

$n$ は整数なので、$n^3$ が $12.5$ 以上 $25$ 未満となる $n$ を探します。

$2^3 = 8$

$3^3 = 27$

したがって、$n=2$ が適しています。

$n=2$ のとき、$x = 8 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64$ となります。

これは、$100 \le x < 200$ を満たしません。

計算間違いがありました。

$2^3 = 8 < 12.5$ なので、$n=2$ は適しません。

正しくは、$12.5 \le n^3 < 25$ となる整数 $n$ を探す必要があります。

$2^3=8$, $3^3=27$ となるので、適する $n$ は存在しません。

問題文に誤りがある可能性があります。$n(A)$は0です。

3. 最終的な答え

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