次の5つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ (2) $\sum_{k=1}^{24} k$ (3) $\sum_{k=1}^{50} k$ (4) $\sum_{k=1}^{7} k^2$ (5) $\sum_{k=1}^{12} k^2$

1. 問題の内容

次の5つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$

(2) $\sum_{k=1}^{24} k$

(3) $\sum_{k=1}^{50} k$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^2$

(5) $\sum_{k=1}^{12} k^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ は、定数 $2$ を $15$ 回足し合わせることを意味します。

したがって、$\sum_{k=1}^{15} 2 = 2 \times 15 = 30$。

(2) $\sum_{k=1}^{24} k$ は、1から24までの自然数の和です。

等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{24} k = \frac{24(24+1)}{2} = \frac{24 \times 25}{2} = 12 \times 25 = 300$。

(3) $\sum_{k=1}^{50} k$ は、1から50までの自然数の和です。

等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$。

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^2$ は、1の2乗から7の2乗までの和です。

2乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{7} k^2 = \frac{7(7+1)(2\times7+1)}{6} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 7 \times 4 \times 5 = 140$。

(5) $\sum_{k=1}^{12} k^2$ は、1の2乗から12の2乗までの和です。

2乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{12} k^2 = \frac{12(12+1)(2\times12+1)}{6} = \frac{12 \times 13 \times 25}{6} = 2 \times 13 \times 25 = 26 \times 25 = 650$。

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) 300

(3) 1275

(4) 140

(5) 650