与えられた数列について、次の問いに答える。 (1) $\frac{977}{1024}$ は第何項か。 (2) 初項から第100項までの和を求めよ。 数列は以下のように定義されている。 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, \frac{8}{8}, \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16} ...$

1. 問題の内容

与えられた数列について、次の問いに答える。

(1) $\frac{977}{1024}$ は第何項か。

(2) 初項から第100項までの和を求めよ。

数列は以下のように定義されている。

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, \frac{8}{8}, \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16} ...$

2. 解き方の手順

(1)

まず、数列の規則性を見つける。分母は $1, 2, 4, 8, 16, ...$ と増えていく。これは $2^{n-1}$ の形である。各分母に対して分子は 1からその分母と同じ数まで増える。

$\frac{977}{1024}$ の分母は $1024=2^{10}$ であるので、$n=11$のグループに属する。

つまり、第11番目のグループの項である。

$2^{n-1}$ までの数列の個数は、分母が $2^{k-1}$ である項の数は $2^{k-1}$ である。したがって、分母が $2^0$から $2^9$までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{10} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + ... + 2^9 = \frac{1(2^{10}-1)}{2-1} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$

したがって、$\frac{977}{1024}$は、数列の第$1023+977 = 2000$項である。

(2)

初項から第100項までの和を求める。

分母が $2^{n-1}$である数列のグループの項数は $2^{n-1}$である。

分母が1の項の数は

1. 分母が2の項の数は

2. 分母が4の項の数は

4. 分母が8の項の数は

8. 分母が16の項の数は

1

6. 分母が32の項の数は

3

2. 分母が64の項の数は

6

4.

$1+2+4+8+16+32 = 63$

$1+2+4+8+16+32+64 = 127$

したがって、初項から第100項までは、分母が1,2,4,8,16,32,64の一部の項が含まれる。

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 項

100 - 63 = 37 項

分母が1から64までの数列の和を考える。

分母が1の項の和は

1. 分母が2の項の和は $\frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$

分母が4の項の和は $\frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

分母が8の項の和は $\frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

分母が16の項の和は $\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16}{16} = \frac{136}{16} = \frac{17*8}{2*8} = \frac{17}{2}$

分母が32の項の和は $\frac{1+2+...+32}{32} = \frac{32*33}{2*32} = \frac{33}{2}$

分母が64の項の和は $\frac{1+2+...+64}{64} = \frac{64*65}{2*64} = \frac{65}{2}$

初項から第63項までの和は $1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{9}{2}+\frac{17}{2}+\frac{33}{2} = \frac{2+3+5+9+17+33}{2} = \frac{69}{2}$

分母が64の項のうち、最初の37項の和は、 $\frac{1+2+..+37}{64} = \frac{37*38}{2*64} = \frac{37*19}{64} = \frac{703}{64}$

したがって、初項から第100項までの和は $\frac{69}{2} + \frac{703}{64} = \frac{69*32}{64} + \frac{703}{64} = \frac{2208+703}{64} = \frac{2911}{64}$

3. 最終的な答え

(1) 2000項

(2) $\frac{2911}{64}$