与えられた5つの式をそれぞれ簡単にせよ。

はい、承知いたしました。問題文の指示に従い、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの式をそれぞれ簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{27} + \sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{75}$

それぞれの根号の中を素因数分解して整理します。

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{28} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

よって、

$3\sqrt{3} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 5\sqrt{3} = (3+5)\sqrt{3} + (2-3)\sqrt{7} = 8\sqrt{3} - \sqrt{7}$

(2) $\sqrt{5}(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{10})$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{5}(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{10}) = 4\sqrt{15} - 2\sqrt{25} + 3\sqrt{50} = 4\sqrt{15} - 2(5) + 3\sqrt{5^2 \cdot 2} = 4\sqrt{15} - 10 + 3(5\sqrt{2}) = 4\sqrt{15} - 10 + 15\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{6} - 3\sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(\sqrt{6} - 3\sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 6 - 9(2) = 6 - 18 = -12$

(4) $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 9(2) - 12\sqrt{6} + 4(3) = 18 - 12\sqrt{6} + 12 = 30 - 12\sqrt{6}$

(5) $(2\sqrt{5} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{5} - 3\sqrt{3})$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(2\sqrt{5} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) = (2\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 4(5) - 9(3) = 20 - 27 = -7$

3. 最終的な答え

(1) $8\sqrt{3} - \sqrt{7}$

(2) $4\sqrt{15} - 10 + 15\sqrt{2}$

(3) $-12$

(4) $30 - 12\sqrt{6}$

(5) $-7$