400個のりんごを入れるために、いくつかのかごを用意した。1つのかごに12個ずつりんごを入れると、りんごが50個以上余る。また、1つのかごに15個ずつりんごを入れると、かごが2つ以上余る。用意したかごの数を求めよ。

1. 問題の内容

400個のりんごを入れるために、いくつかのかごを用意した。1つのかごに12個ずつりんごを入れると、りんごが50個以上余る。また、1つのかごに15個ずつりんごを入れると、かごが2つ以上余る。用意したかごの数を求めよ。

2. 解き方の手順

かごの数を $x$ とする。

1つのかごに12個ずつ入れると、りんごが50個以上余るので、使ったりんごの数は$400-50 = 350$個以下である。

よって、

$12x \le 350$

$x \le \frac{350}{12} = \frac{175}{6} = 29.166...$

1つのかごに15個ずつ入れると、かごが2つ以上余るので、使ったかごの数は$x-2$個以下である。

よって、使ったりんごの数は、$15(x-2)$個以下である。

$15(x-2) \le 400$

$15x - 30 \le 400$

$15x \le 430$

$x \le \frac{430}{15} = \frac{86}{3} = 28.666...$

$x$は整数なので、$x \le 28$ である。

また、$12x \le 350$ より、$x \le 29$ である。

これらより、$x \le 28$

一方、1つのかごに15個ずつ入れると、かごが2つ以上余るので、少なくとも3個以上かごが必要である。つまり、$x \ge 3$である。

400個のりんごを入れるのに、1つのかごに12個ずつ入れると50個以上余るので、かごは少なくとも1つは必要なので、$x \ge 1$である。

$x$は正の整数なので、$x$は2以上の整数である。

もし$x=28$だとすると、$12 \times 28 = 336$個のりんごを使うことになり、$400-336=64 > 50$を満たす。

また、$15 \times (28-2) = 15 \times 26 = 390 < 400$を満たす。

もし$x=27$だとすると、$12 \times 27 = 324$個のりんごを使うことになり、$400-324=76 > 50$を満たす。

また、$15 \times (27-2) = 15 \times 25 = 375 < 400$を満たす。

もし$x=26$だとすると、$12 \times 26 = 312$個のりんごを使うことになり、$400-312=88 > 50$を満たす。

また、$15 \times (26-2) = 15 \times 24 = 360 < 400$を満たす。

1つのかごに12個ずつ入れると50個以上余るということから

$400 - 12x \ge 50$

$350 \ge 12x$

$x \le \frac{350}{12} = 29.166...$

$x \le 29$

1つのかごに15個ずつ入れるとかごが2つ以上余るということから

$15(x-2) \le 400$

$15x - 30 \le 400$

$15x \le 430$

$x \le \frac{430}{15} = 28.666...$

$x \le 28$

したがって、$x=28$

3. 最終的な答え

28