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与えられた分数の式を計算します。 式は $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

算数分数有理化平方根
2025/8/10

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算します。
式は 5−35+3\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数5−3\sqrt{5}-\sqrt{3}を分子と分母の両方に掛けます。
5−35+3=(5−3)(5−3)(5+3)(5−3)\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}
分子を展開します。
(5−3)(5−3)=(5)2−253+(3)2=5−215+3=8−215(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}
分母を展開します。
(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
したがって、式は次のようになります。
8−2152=82−2152=4−15\frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = \frac{8}{2} - \frac{2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}

3. 最終的な答え

4−154 - \sqrt{15}

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