与えられた式の分母を有理化し、$\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ の形の答えになるように、$\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$を求める。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化し、$\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ の形の答えになるように、$\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$を求める。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(\sqrt{5}+1)+\sqrt{6}$と見て、分母の有理化を行います。

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\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{1}{(\sqrt{5} + 1) + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6}}{((\sqrt{5} + 1) + \sqrt{6})((\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6})}

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分母を展開します。

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((\sqrt{5} + 1) + \sqrt{6})((\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6}) = (\sqrt{5} + 1)^2 - (\sqrt{6})^2 = (5 + 2\sqrt{5} + 1) - 6 = 2\sqrt{5}

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したがって、

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\frac{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}

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さらに分母を有理化します。

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\frac{(\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}

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よって、

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\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}

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したがって、$\boxed{オ}=5$、$\boxed{カキ}=10$となります。

3. 最終的な答え

オ：5

カキ：10