三角錐 PABC において、PA = $\sqrt{2}$, PB = $\sqrt{3}$, PC = 2, ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 90° である。点Pから△ABCを含む平面に垂線PHを下ろす。 (1) △ABCの面積Sを求めよ。 (2) 三角錐 PABC の体積Vを求めよ。 (3) PHの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

三角錐 PABC において、PA = $\sqrt{2}$, PB = $\sqrt{3}$, PC = 2, ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 90° である。点Pから△ABCを含む平面に垂線PHを下ろす。

(1) △ABCの面積Sを求めよ。

(2) 三角錐 PABC の体積Vを求めよ。

(3) PHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABCの面積Sを求める。

余弦定理より、

$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cos{90^\circ} = 2 + 3 = 5$

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2PB \cdot PC \cos{90^\circ} = 3 + 4 = 7$

$CA^2 = PC^2 + PA^2 - 2PC \cdot PA \cos{90^\circ} = 4 + 2 = 6$

よって、$AB = \sqrt{5}, BC = \sqrt{7}, CA = \sqrt{6}$

ヘロンの公式より、

$s = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{6}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-\sqrt{5})(s-\sqrt{7})(s-\sqrt{6})}$ は複雑になるので、別の方法を考える。

$AB^2 = 5, BC^2 = 7, CA^2 = 6$ から

$\cos{A} = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{5 + 6 - 7}{2\sqrt{5}\sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{30}} = \frac{2}{\sqrt{30}}$

$\sin^2{A} = 1 - \cos^2{A} = 1 - \frac{4}{30} = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}$

$\sin{A} = \sqrt{\frac{13}{15}}$

$S = \frac{1}{2} AB \cdot CA \sin{A} = \frac{1}{2} \sqrt{5} \sqrt{6} \sqrt{\frac{13}{15}} = \frac{1}{2} \sqrt{30 \cdot \frac{13}{15}} = \frac{1}{2} \sqrt{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$

(2) 三角錐PABCの体積Vを求める。

$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{6} \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) PHの長さを求める。

$V = \frac{1}{3} S \cdot PH$ より

$PH = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{26}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{26}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{156}}{26} = \frac{2\sqrt{4 \cdot 39}}{26} = \frac{4\sqrt{39}}{26} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) S = $\frac{\sqrt{26}}{2}$

(2) V = $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) h = $\frac{2\sqrt{39}}{13}$

よって、空欄に当てはまる数字は以下の通りです。

1 = 2, 2 = 6, 3 = 2

4 = 6, 5 = 3

6 = 2, 7 = 3, 8 = 9, 9 = 1, 10 = 3