座標平面上に3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ がある。これらを頂点とする平行四辺形の、残りの1つの頂点となりうる点の座標を全て求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 $P(1, 2)$, $Q(3, -2)$, $R(4, 1)$ がある。これらを頂点とする平行四辺形の、残りの1つの頂点となりうる点の座標を全て求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形の性質として、向かい合う辺が平行かつ等しい長さを持つことが挙げられる。したがって、四角形 $PQRS$ が平行四辺形であるとき、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ または $\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}$ などが成り立つ。残りの頂点を$S(x,y)$とする。考えられる平行四辺形は以下の3通りである。

* 平行四辺形 $PQRS$の場合

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ より、

$\begin{pmatrix} 3-1 \\ -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-x \\ 1-y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-x \\ 1-y \end{pmatrix}$

$2 = 4-x$ より $x = 2$

$-4 = 1-y$ より $y = 5$

よって$S(2,5)$

* 平行四辺形 $PRQS$の場合

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{SQ}$ より、

$\begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-x \\ -2-y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-x \\ -2-y \end{pmatrix}$

$3 = 3-x$ より $x = 0$

$-1 = -2-y$ より $y = -1$

よって$S(0,-1)$

* 平行四辺形 $PSQR$の場合

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{RQ}$ より、

$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ -2-1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$x-1 = -1$ より $x = 0$

$y-2 = -3$ より $y = -1$

平行四辺形 $PSQR$の場合、$S(0, -1)$

* 平行四辺形 $PQSR$の場合

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ より、

$\begin{pmatrix} 3-1 \\ -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-4 \\ y-1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-4 \\ y-1 \end{pmatrix}$

$2 = x-4$ より $x = 6$

$-4 = y-1$ より $y = -3$

よって$S(6,-3)$

平行四辺形 $PRSQ$の場合

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{QS}$ より、

$\begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-3 \\ y+2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-3 \\ y+2 \end{pmatrix}$

$3 = x-3$ より $x = 6$

$-1 = y+2$ より $y = -3$

よって$S(6,-3)$

平行四辺形 $PSRQ$の場合

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}$ より、

$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ 1+2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$x-1 = 1$ より $x = 2$

$y-2 = 3$ より $y = 5$

よって$S(2,5)$

したがって残りの頂点となりうる点の座標は$(2,5)$, $(0,-1)$, $(6,-3)$

3. 最終的な答え

(2, 5), (0, -1), (6, -3)